На протяжении многих лет учёные кафедры математики СПбГАСУ изучают связи между теорией нелинейных параболических уравнений и теорией стохастических дифференциальных уравнений. Одна из последних статей профессора кафедры математики, доктора физико-математических наук, профессора Яны Белопольской под названием «Вероятностная интерпретация решения задачи Коши для систем нелинейных параболических уравнений» опубликована в журнале Systems of Nonlinear Parabolic Equations, Lobachevskii Journal of Mathematics.

Мы побеседовали с автором о том, чем интересна математика и где можно применить исследуемые математиками задачи.

– Чем интересна математика, так это тем, что она одними и теми же уравнениями позволяет описывать совершенно разные физические, химические, биологические и другие явления. Поэтому математические результаты, которые удаётся получить, можно применить во многих сферах. Различные разделы математики, которые развиваются независимо друг от друга, зачастую оказываются тесно связанными, и наличие этой связи позволяет решать сложные прикладные задачи.

В частности, связь между теорией нелинейных параболических уравнений и теорией стохастических дифференциальных уравнений важна для решения ряда задач в физике, химии, популяционной динамике, биологии. Описание различных явлений макромира, как правило, даётся в терминах наблюдаемых и измеряемых величин и выводе законов изменения этих величин в терминах нелинейных параболических уравнений и систем. С другой стороны, системы стохастических уравнений – это один из инструментов описания микромира, динамика которого, как правило, не поддаётся наблюдению. Но именно происходящее в невидимой сфере позволяет объяснить результаты наблюдений. Существует множество примеров этой связи.

– Приведите, пожалуйста, эти примеры.

– Самый простой пример – измерение температуры в комнате. Если мы хотим измерить температуру, то смотрим на термометр и видим некую цифру. Вроде бы всё очевидно и просто. Но на самом деле температура зависит от таких факторов, как скорость движения молекул воздуха, интенсивность их столкновений, то есть от того, что человеческий глаз разглядеть не может.

Другой пример – броуновское движение. В 1827 году Роберт Броун обнаружил, что если он капнет чернила в стакан воды, то чернильное пятно будет расплываться. Более того, оказалось, что оно расплывается по какому-то закону. Броун исследовал связь динамики концентрации частиц с их хаотическим перемещением, которое впоследствии было названо броуновским движением. А математическую модель броуновского движения назвали винеровским процессом – в честь создавшего её математика Норберта Винера. При этом было показано, что решение уравнения диффузии (параболического уравнения, также именуемого уравнением теплопроводности) можно получить в терминах распределения винеровского процесса.

– О каких процессах вы пишете в своей статье?

– В статье речь идёт о том, что решение задачи Коши для систем нелинейных параболических уравнений можно свести к решению некоторых стохастических задач, формулируемых в терминах решений стохастических дифференциальных уравнений. Изучая систему стохастических уравнений, мы доказываем существование и единственность решения исходной задачи, а также свойства этого решения. На этом пути удаётся разработать новые численные схемы построения приближенного решения.

– Какие результаты получены вашими учениками?

– Мои аспиранты разработали ряд программ численного решения краевых задач для линейных и нелинейных параболических уравнений и систем на основе полученных нами вероятностных представлений этих решений. На эти программы выданы свидетельства о государственной регистрации. По результатам работ защищены кандидатские диссертации. По данной тематике опубликовано более 20 работ и две монографии. Мы планируем продолжать эти исследования.