Родился 14 октября 1907 г. в Калуге в семье техника-строителя. После школы два года учился в калужском техникуме (1925–1927). Выпускник ЛИКС по отделению фабрично-заводского строительства (1931). По окончании института работал прорабом 13-го Госстройтреста на строительстве автозавода в Нижнем Новгороде (1931–1932), служил в РККА (1932).
Преподавательская деятельность началась в довоенное время. Преподавал в Строительном техникуме в Калуге (1933–1934). Поступил в аспирантуру ЛИИКС по кафедре деревянных конструкций (1934–1938). Будучи аспирантом, вёл занятия на этой кафедре (с 1936), затем был её преподавателем (1938–1941). Защитил кандидатскую диссертацию на тему «Дополнительные напряжения от стержней жёсткости узлов в деревянных формах». В июне того же года ему была присвоена учёная степень кандидата технических наук (1939). С сентября 1939 г. назначен помощником (заместителем) декана инженерно-строительного факультета ЛИИКС по совместительству.
В Великой Отечественной войне участвовал с первых дней: с 24 июня 1941 г. служил комендантом аэродрома, затем командовал сапёрным взводом на Ленинградском фронте (1942–1945).
После войны вернулся в родной институт и начал работать преподавателем кафедры деревянных конструкций (1945–1947), заместителем декана строительного факультета ЛИСИ (1946). Утверждён в учёном звании доцента (1947).
Доцент кафедры деревянных конструкций (1947–1952, 1956–1957). Декан строительного факультета (1949–1951), заместитель директора по учебной работе (1952–1956). Директор (ректор) ЛИСИ (1957–1968), заведовал кафедрой изделий из дерева и пластмасс (с 1965 г. по совместительству, с 1968 г. на штатной должности).
Помимо педагогической деятельности, занимался научной работой: вопросами теории расчёта деревянных конструкций, в том числе по предельным нагрузкам. Автор многих исследований физико-механических свойств древесины и пластмасс. Разработал методику оценки механических свойств и структуры материалов неразрушающими методами. Создал лабораторию длительных испытаний пластмасс (1960).
При его непосредственном и активном участии построено студенческое общежитие института на 1700 мест.
Избирался депутатом Ленинского райсовета (1955–1961). Был членом правления НТО строителей. За большую работу по улучшению учебного процесса и успешную подготовку квалифицированных кадров Квасникову трижды объявлялась благодарность приказом Главнокомандующего Военно-морскими силами СССР (1953) и начальника Военно-морских учебных заведений ВМС СССР (1954, 1955). Имел благодарности от министра (1965, 1967) и первого заместителя министра (1968) высшего и среднего специального образования РСФСР. В 1973 г. защитил в ЛИСИ докторскую диссертацию «Вопросы длительного сопротивления древесины и конструктивных элементов из дерева и слоистых пластиков», но до подтверждения ВАК не дожил.
Награждён Орденом Трудового Красного Знамени и пятью медалями: «За оборону Ленинграда», «За победу нал Германией», «За трудовую доблесть», «В память 250-летия Ленинграда», «За освоение целинных земель».
Е. Н. Квасников скончался 3 января 1974 г. в Ленинграде. Похоронен на Богословском кладбище.