Родился 13 (26) мая 1900 г. в селе Мхиничи Могилёвской губернии в семье учителей. Окончив гимназию, в 1918–1920 гг. преподавал физику в сельской школе. В 1921 г. поступил в Институт гражданских инженеров. Одновременно с обучением работал грузчиком в морском порту и преподавателем в школах для рабочих.
В 1927 г. с отличием окончил ЛИГИ. В 1929–1932 гг. – аспирантура при ЛИИКС. В 1930 г. был утверждён ассистентом, в 1931-м досрочно защитил кандидатскую диссертацию. Преподавал в ЛИИКС-ЛИСИ (1932–1943).
В период обучения в аспирантуре занимался решением проблемы фундаментов сооружений на вечной мерзлоте. Один из инициаторов и участник организации в ЛИГИ мерзлотной лаборатории грунтоведения и механики грунтов для изучения физико-механических свойств мёрзлых грунтов (1929). Разработчик специального курса лекций по вечной мерзлоте. На основе предложенного им метода были возведены промышленные предприятия в Якутске и других северных городах, построены Норильский горно-металлургический комбинат и город Норильск.
В 1939 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Проблемы механики грунтов в инженерной практике». В годы Великой Отечественной войны одновременно с чтением лекций в ЛИСИ занимался строительством укреплений на подступах к Ленинграду. Профессор (1943). Член-корреспондент АН СССР по отделению геолого-географических наук (1943) – за заслуги в становлении инженерного мерзлотоведения и механики грунтов. Председатель президиума Якутского филиала АН CCCP (1947–1953). Действительный член Академии строительства и архитектуры СССР (1956).
В 1943 г. за большую научную и педагогическую деятельность Н.А. Цытовичу присваивается звание профессора ЛИСИ и ЛГУ. В том же году, по приказу командования, Н.А. Цытович вместе с ВИТКУ переводится в г. Ярославль.
Президент (1957–1978), почётный председатель (1978–1984) Национальной ассоциации СССР в составе Международного общества механики грунтов и фундаментостроения. Своей деятельностью на этом посту способствовал установлению и укреплению зарубежных научных связей советских ученых, признанию советской школы механики грунтов и фундаментостроения и выходу её на одно из первых мест в мире. Труды Н. А. Цытовича «Механика грунтов», «Механика мёрзлых грунтов (общая и прикладная)», «Основания и фундаменты на мёрзлых грунтах» и другие стали руководством для инженеров-строителей.
Консультировал строительство крупных металлургических заводов, гидротехнических сооружений, в частности, Куйбышевской, Волгоградской, Вилюйской и Хантайской ГЭС, теплоэлектростанций, промышленных и других объектов в СССР. К нему обращались за консультациями при строительстве Асуанской плотины в Египте, крупных инженерных объектов в Алжире, Вьетнаме и других странах.
Николай Александрович Цытович был удостоен ряда государственных наград: двух Орденов Красной Звезды (22.05.1945, 10.12.1945), ордена «Знак Почёта» (1952), Ордена Ленина (1953), нескольких медалей. Лауреат Сталинской премии II степени (1950).
Опубликовал свыше 400 научных и учебно-методических работ, в том числе 25 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки. Под его научным руководством подготовлено более 60 кандидатских и 20 докторских диссертаций.
Скончался 26 апреля 1984 г. Похоронен на Введенском кладбище Москвы.