Родился 15 (27) сентября 1856 г. в Варшаве в семье нотариуса земской канцелярии. Образование получил во Второй варшавской классической гимназии (1872) и в Институте инженеров путей сообщения (1877). За неимением средств в студенческие годы терпел нужду, что впоследствии сказалось на состоянии его здоровья и трагически отразилось на судьбе, приведя к преждевременной кончине.
Поступил на службу в главное общество российских железных дорог, на Петербургско-Варшавскую железную дорогу, где был назначен инженером Санкт-Петербургской дистанции (1878).
Занимал должность городского инженера Вильно (Вильнюса) и много сделал для его благоустройства. Главные его работы в городе – регулирование и укрепление берегов реки Вилейки, водоснабжение и канализация части города, постройка Зареченского и Поплавского мостов (1880–1888). Здесь началась и преподавательская деятельность Ф. С. Ясинского: он читал курс железнодорожного дела в Виленском железнодорожно-техническом училище (1881–1883).
В 1890 г. был назначен начальником службы пути и ремонта зданий Николаевской (ныне Октябрьской) железной дороги (1890).
Редактор научного журнала «Известия собраний инженеров путей сообщения» (с 1892), где был опубликован ряд его статей: «Опыт развития теории продольного изгиба» (1892), «Влияние торможения поездов на прочность проезжей части железных мостов» (1894) и др.
Начиная с 1892 г. Ф. С. Ясинский погрузился в научную работу и опубликовал около сорока трудов. Мировую известность ему принесло изучение сопротивления стержней против продольного изгиба: Ф. С. Ясинский вывел формулы для определения критической силы сопротивления сжатого стержня, применяемые до сих пор. Кроме того, он дал практические таблицы для расчёта сжатых стержней. Своё открытие он опубликовал в труде «О сопротивлении продольному изгибу» (1894). За это сочинение Петербургский институт инженеров путей сообщения удостоил Ясинского учёной степени адъюнкта прикладной механики, что давало право на занятие профессорской кафедры.
В 1896 г. Ф. С. Ясинский был избран экстраординарным профессором по кафедре строительной механики в Институте инженеров путей сообщения. В том же году он начал читать лекции по строительной механике в Горном институте.
В Институте гражданских инженеров преподавал строительную механику (1896–1899).
Его лекции всегда вызывали большой интерес и собирали полные аудитории студентов и преподавателей. За время своей педагогической работы Ф. С. Ясинский опубликовал конспекты лекций по курсам сопротивления материалов, статике сооружений и теории упругости.
Помимо преподавательской деятельности, занимался техническими проектами, среди которых – разработка электрического освещения объектов, сооружение мастерских и водонапорных башен, мостов, в том числе расчёт сжатых стержней многораскосных ферм и приближённый расчёт сжатого пояса открытого моста (последний вошёл в строительную механику под названием «Задача Ясинского»).
Многие годы болел туберкулёзом, но не заботился о своем здоровье, работая почти без отдыха. Умер Ф. С. Ясинский в Петербурге 18 ноября 1899 года. Похоронен согласно завещанию в Варшаве.