Направление «Полностью нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных»

Научный руководитель направления: д. ф.-м. н., профессор Н. М. Ивочкина. Участники: к. ф.-м. н. Г. В. Якунина, к. ф.-м. н. С. И. Прокофьева.

Главными особенностями направления являются пересмотр алгебро-геометрических оснований нелинейной теории и выделение в ней существенных органичных конструкций, отличающих её от теории линейных уравнений. По данной теме исследований получены результаты мирового уровня, которые перекликаются с достижениями таких российских и зарубежных учёных, как Н. В. Крылов, М. В. Сафонов, L. C. Evans, L. Caffarelli, L. Nirenberg, J. Y. Spruck, J. Urbas, M. Lin, K.-S. Chou, N. S. Trudinger, Xu-Jia Wang.

Направление «Вероятностные подходы к решению спектральных и краевых задач для линейных и нелинейных параболических уравнений и систем»

Научный руководитель: д. ф.-м. н., проф. Я. И. Белопольская. Участники: к. ф.-м. н. А. Е. Михайлов, к. ф.-м. н. В. Ю. Васильчук, к. ф.-м. н. Ю. Ю. Ершова.

В данном направлении изучаются следующие вопросы: вероятностные подходы к решению краевых задач для нелинейных параболических уравнений и систем; теория стохастических дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными параболическими уравнениями и системами и её приложения; спектральная теория случайных матриц. Исследуются вопросы, связанные с устойчивыми распределениями на поле p-адических чисел и алгебраических расширениях поля p-адических чисел.

Направление «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления»

Научный руководитель: д. ф.-м. н. проф. В. Б. Смирнова. Участники: к. ф.-м. н. Н. В. Утина, к. ф.-м. н. Л. Е. Морозова.

С 1976 г. на кафедре ведутся работы по исследованию асимптотического поведения различных классов систем управления с неединственным состоянием равновесия. В рамках данного направления ведётся исследование асимптотического поведения и переходных процессов различных классов систем управления с неединственным состоянием равновесия, в том числе систем с разрывными нелинейностями и систем с периодическими нелинейностями. Результаты исследований предназначены для использования при конструировании и анализе функционирования широкого класса систем: вибрационных машин, механических систем, радиоэлектронных систем, систем дальней связи, систем передачи информации, систем автоматического регулирования с распределёнными звеньями и секторальными нелинейностями.

Направление «История математики»

Научный руководитель: д. ф.-м. н. Г. И. Синкевич. Участник: О. В. Соловьёва.

Исследования данного направления посвящены истории математического анализа XIX–XX вв. и теории обыкновенных дифференциальных уравнений XVIII–XIX вв.

Направление «Теория и методика обучения математике в высшей и средней школе»

Научный руководитель направления: к. пед. н., доцент Л. В. Грамбовская. Участники: Л. А. Баданина, С. А. Караказьян.

Исследования данного направления посвящены теории и методике обучения математике в средней и высшей школе, технологиям внедрения дистанционных форм обучения в учебный процесс.

Направление «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Научный руководитель: к. ф.-м. н. Л. Ю.Уразаева. Участники: к. ф.-м. н. Т. В. Рябикова, В. Г. Блинова.

Работа в данном направлении предполагает применение математического моделирования, численных методов и комплексов программ для решения научных и технических, фундаментальных и прикладных проблем в строительстве и смежных областях.

Вероятностные подходы к построению решений линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Грант РНФ 17-11-01136. (Ответственный исполнитель: д. ф.-м. н., проф. Я. И. Белопольская.)

Построение и исследование стохастических уравнений для вероятностных моделей физических, химических и биологических процессов, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных. Грант РФФИ 15-01-01453–а. (Руководитель: д. ф.-м. н., проф. Я. И. Белопольская.)

Процессы переноса и диссипации в живых и неживых системах. Грант Минобрнауки НИР: 2074. (Руководитель: д. ф.-м. н., проф. Я. И. Белопольская.)

Построена качественная теория разрешимости стационарных и эволюционных m-гессиановских уравнений в конусах m-допустимых функций. Проведён сравнительный анализ гессиановских интегральных неравенств с некоторыми классическими неравенствами функционального анализа. Показано, что эти неравенства содержат функционально-геометрическую информацию нового типа.

Исследованы связи между нелинейными параболическими уравнениями и системами второго порядка и теорией стохастических уравнений. Построены вероятностные представления для различных классов решения задачи Коши для таких уравнений и систем. Исследованы свойства случайных процессов, ассоциированных с классическими обобщёнными и вязкостными решениями нелинейных систем параболических уравнений. Полученные представления использованы для построения эффективных численных методов решения прикладных задач, возникающих в различных областях, таких как физика, химия, биология и финансовая математика.

Доказана центральная предельная теорема для линейных статистик собственных значений мультипликативных деформированных унитарно инвариантных ансамблей случайных матриц. Получен в явном виде ведущий член асимптотического разложения по обратным степеням размерности матриц коррелятора следа резольвенты данных ансамблей.

В рамках направления «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» осуществлено развитие классических для теории устойчивости методов Ляпунова и Попова за счёт разработки новых классов функций Ляпунова и функционалов Попова. Для сосредоточенных и распределённых систем с периодическими нелинейностями получены новые многопараметрические частотно-алгебраические условия глобальной асимптотической устойчивости и выполнено обоснование расширения набора варьируемых параметров. Показано, что новые критерии могут служить также и для оценки частот периодических режимов, и для оценки параметров переходных процессов систем фазовой синхронизации. Полученные многопараметрические критерии распространены на сингулярно возмущённые системы. Изучена робастность систем синхронизации относительно неопределённых непериодических внешних воздействий.

Исследовано становление основных понятий анализа начиная с XVI в., проанализированы основные концепции анализа XIX в., развёрнута история становления этих концепций. Установлена авторская принадлежность основных теорем общей теории линейных дифференциальных уравнений. Создана целостная картина истории развития математики в Санкт-Петербурге. Ведутся исследования в области истории петербургской математической школы. В двух изданиях вышла книга «Математический Петербург». К XXIX Международному конгрессу математиков-2022 готовится книга «Математики Петербурга и их теоремы». Кроме того, к печати готовятся следующие книги: «Курсъ Теорiи Вероятностей, читанный профессоромъ Воронымъ на 1902/3 годъ», «Математики Петербургской стороны», «Георг Кантор» (2-е изд.). Проводятся циклы исследований по истории отечественной математики екатерининского периода, по истории математики и астрономии России XIX в., по истории и историографии европейской математики, в рамках которых опубликован ряд статей. Работает научный семинар по истории математики.

Преподаватели кафедры, имеющие право на научное руководство аспирантами:

• Я. И. Белопольская, д. ф.-м. н., профессор;
• В. Б. Смирнова, д. ф.-м. н., профессор.

Защита диссертаций

• Г. И. Синкевич, доктор физико-математических наук (2019): «Развитие понятия числа и непрерывности в математическом анализе до конца XIX века».
• Е. И. Немченко, кандидат физико-математических наук (2020): «Вероятностные модели и алгоритмы численного решения задачи Коши для систем квазилинейных параболических уравнений» (руководитель: д. ф.-м. н., профессор Я. И. Белопольская).